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求三角形面积,CD=3,∠BAC=45°,求三角形ABC的面积

如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,BD=2,CD=3,∠BAC=45°,求三角形ABC的面积。这道题怎么做呢?

已知BD=2,CD=3,∠BAC=45°,求三角形ABC的面积

我们要求三角形ABC的面积,已知AD⊥BC,BD=2,CD=3,根据三角形的面积公式,接下来只需求出AD的长度即可。如何求AD的长度呢?

题目条件告诉我们∠BAC=45°,看到45°,很多同学都能想到构造等腰直角三角形,但不管是过点B作AC的垂线,还是过点C作AB的垂线,对求AD的长度都没有太大的帮助,那么应该怎么办呢?

∠BAC=45°,我们可以构造半角模型,将三角形ABD沿AB翻折得到三角形ABE,将三角形ACD沿AC翻折得到三角形ACF。

已知BD=2,CD=3,∠BAC=45°,求三角形ABC的面积

如图所示,因为∠BAC=45°,即∠2+∠3=45°,而∠1=∠2,∠3=∠4,

等量代换∠1+∠4=45°,∠EAF=90°,且AE=AD=AF,∠E=∠F=90°。

延长EB、FC,EB、FC的延长线交于点G。

已知BD=2,CD=3,∠BAC=45°,求三角形ABC的面积

因为∠E=∠F=∠EAF=90°,AE=AF,所以四边形AEGF是正方形。

假设正方形AEGF的边长为x,则BG=x-2,CG=x-3。

三角形BCG为直角三角形,由勾股定理,可得BG²+CG²=BC²,即(x-2)²+(x-3)²=5²,解得x=6。

AD=正方形的边长=6,所以三角形ABC的面积=BC×AD÷2=5×6÷2=15。

以上就是这道题的解法,除此之外,你还有其他方法吗?可以在评论区留言~

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